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 "cells": [
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   "cell_type": "markdown",
   "id": "06969ee4",
   "metadata": {
    "origin_pos": 0
   },
   "source": [
    "# 束搜索\n",
    ":label:`sec_beam-search`\n",
    "\n",
    "在 :numref:`sec_seq2seq`中，我们逐个预测输出序列，\n",
    "直到预测序列中出现特定的序列结束词元“&lt;eos&gt;”。\n",
    "本节将首先介绍*贪心搜索*（greedy search）策略，\n",
    "并探讨其存在的问题，然后对比其他替代策略：\n",
    "*穷举搜索*（exhaustive search）和*束搜索*（beam search）。\n",
    "\n",
    "在正式介绍贪心搜索之前，我们使用与 :numref:`sec_seq2seq`中\n",
    "相同的数学符号定义搜索问题。\n",
    "在任意时间步$t'$，解码器输出$y_{t'}$的概率取决于\n",
    "时间步$t'$之前的输出子序列$y_1, \\ldots, y_{t'-1}$\n",
    "和对输入序列的信息进行编码得到的上下文变量$\\mathbf{c}$。\n",
    "为了量化计算代价，用$\\mathcal{Y}$表示输出词表，\n",
    "其中包含“&lt;eos&gt;”，\n",
    "所以这个词汇集合的基数$\\left|\\mathcal{Y}\\right|$就是词表的大小。\n",
    "我们还将输出序列的最大词元数指定为$T'$。\n",
    "因此，我们的目标是从所有$\\mathcal{O}(\\left|\\mathcal{Y}\\right|^{T'})$个\n",
    "可能的输出序列中寻找理想的输出。\n",
    "当然，对于所有输出序列，在“&lt;eos&gt;”之后的部分（非本句）\n",
    "将在实际输出中丢弃。\n",
    "\n",
    "## 贪心搜索\n",
    "\n",
    "首先，让我们看看一个简单的策略：*贪心搜索*，\n",
    "该策略已用于 :numref:`sec_seq2seq`的序列预测。\n",
    "对于输出序列的每一时间步$t'$，\n",
    "我们都将基于贪心搜索从$\\mathcal{Y}$中找到具有最高条件概率的词元，即：\n",
    "\n",
    "$$y_{t'} = \\operatorname*{argmax}_{y \\in \\mathcal{Y}} P(y \\mid y_1, \\ldots, y_{t'-1}, \\mathbf{c})$$\n",
    "\n",
    "一旦输出序列包含了“&lt;eos&gt;”或者达到其最大长度$T'$，则输出完成。\n",
    "\n",
    "![在每个时间步，贪心搜索选择具有最高条件概率的词元](../img/s2s-prob1.svg)\n",
    ":label:`fig_s2s-prob1`\n",
    "\n",
    "如 :numref:`fig_s2s-prob1`中，\n",
    "假设输出中有四个词元“A”“B”“C”和“&lt;eos&gt;”。\n",
    "每个时间步下的四个数字分别表示在该时间步\n",
    "生成“A”“B”“C”和“&lt;eos&gt;”的条件概率。\n",
    "在每个时间步，贪心搜索选择具有最高条件概率的词元。\n",
    "因此，将在 :numref:`fig_s2s-prob1`中\n",
    "预测输出序列“A”“B”“C”和“&lt;eos&gt;”。\n",
    "这个输出序列的条件概率是\n",
    "$0.5\\times0.4\\times0.4\\times0.6 = 0.048$。\n",
    "\n",
    "那么贪心搜索存在的问题是什么呢？\n",
    "现实中，*最优序列*（optimal sequence）应该是最大化\n",
    "$\\prod_{t'=1}^{T'} P(y_{t'} \\mid y_1, \\ldots, y_{t'-1}, \\mathbf{c})$\n",
    "值的输出序列，这是基于输入序列生成输出序列的条件概率。\n",
    "然而，贪心搜索无法保证得到最优序列。\n",
    "\n",
    "![在时间步2，选择具有第二高条件概率的词元“C”（而非最高条件概率的词元）](../img/s2s-prob2.svg)\n",
    ":label:`fig_s2s-prob2`\n",
    "\n",
    " :numref:`fig_s2s-prob2`中的另一个例子阐述了这个问题。\n",
    "与 :numref:`fig_s2s-prob1`不同，在时间步$2$中，\n",
    "我们选择 :numref:`fig_s2s-prob2`中的词元“C”，\n",
    "它具有*第二*高的条件概率。\n",
    "由于时间步$3$所基于的时间步$1$和$2$处的输出子序列已从\n",
    " :numref:`fig_s2s-prob1`中的“A”和“B”改变为\n",
    " :numref:`fig_s2s-prob2`中的“A”和“C”，\n",
    "因此时间步$3$处的每个词元的条件概率也在 :numref:`fig_s2s-prob2`中改变。\n",
    "假设我们在时间步$3$选择词元“B”，\n",
    "于是当前的时间步$4$基于前三个时间步的输出子序列“A”“C”和“B”为条件，\n",
    "这与 :numref:`fig_s2s-prob1`中的“A”“B”和“C”不同。\n",
    "因此，在 :numref:`fig_s2s-prob2`中的时间步$4$生成\n",
    "每个词元的条件概率也不同于 :numref:`fig_s2s-prob1`中的条件概率。\n",
    "结果， :numref:`fig_s2s-prob2`中的输出序列\n",
    "“A”“C”“B”和“&lt;eos&gt;”的条件概率为\n",
    "$0.5\\times0.3 \\times0.6\\times0.6=0.054$，\n",
    "这大于 :numref:`fig_s2s-prob1`中的贪心搜索的条件概率。\n",
    "这个例子说明：贪心搜索获得的输出序列\n",
    "“A”“B”“C”和“&lt;eos&gt;”\n",
    "不一定是最佳序列。\n",
    "\n",
    "## 穷举搜索\n",
    "\n",
    "如果目标是获得最优序列，\n",
    "我们可以考虑使用*穷举搜索*（exhaustive search）：\n",
    "穷举地列举所有可能的输出序列及其条件概率，\n",
    "然后计算输出条件概率最高的一个。\n",
    "\n",
    "虽然我们可以使用穷举搜索来获得最优序列，\n",
    "但其计算量$\\mathcal{O}(\\left|\\mathcal{Y}\\right|^{T'})$可能高的惊人。\n",
    "例如，当$|\\mathcal{Y}|=10000$和$T'=10$时，\n",
    "我们需要评估$10000^{10} = 10^{40}$序列，\n",
    "这是一个极大的数，现有的计算机几乎不可能计算它。\n",
    "然而，贪心搜索的计算量\n",
    "$\\mathcal{O}(\\left|\\mathcal{Y}\\right|T')$\n",
    "通它要显著地小于穷举搜索。\n",
    "例如，当$|\\mathcal{Y}|=10000$和$T'=10$时，\n",
    "我们只需要评估$10000\\times10=10^5$个序列。\n",
    "\n",
    "## 束搜索\n",
    "\n",
    "那么该选取哪种序列搜索策略呢？\n",
    "如果精度最重要，则显然是穷举搜索。\n",
    "如果计算成本最重要，则显然是贪心搜索。\n",
    "而束搜索的实际应用则介于这两个极端之间。\n",
    "\n",
    "*束搜索*（beam search）是贪心搜索的一个改进版本。\n",
    "它有一个超参数，名为*束宽*（beam size）$k$。\n",
    "在时间步$1$，我们选择具有最高条件概率的$k$个词元。\n",
    "这$k$个词元将分别是$k$个候选输出序列的第一个词元。\n",
    "在随后的每个时间步，基于上一时间步的$k$个候选输出序列，\n",
    "我们将继续从$k\\left|\\mathcal{Y}\\right|$个可能的选择中\n",
    "挑出具有最高条件概率的$k$个候选输出序列。\n",
    "\n",
    "![束搜索过程（束宽：2，输出序列的最大长度：3）。候选输出序列是$A$、$C$、$AB$、$CE$、$ABD$和$CED$](../img/beam-search.svg)\n",
    ":label:`fig_beam-search`\n",
    "\n",
    " :numref:`fig_beam-search`演示了束搜索的过程。\n",
    "假设输出的词表只包含五个元素：\n",
    "$\\mathcal{Y} = \\{A, B, C, D, E\\}$，\n",
    "其中有一个是“&lt;eos&gt;”。\n",
    "设置束宽为$2$，输出序列的最大长度为$3$。\n",
    "在时间步$1$，假设具有最高条件概率\n",
    "$P(y_1 \\mid \\mathbf{c})$的词元是$A$和$C$。\n",
    "在时间步$2$，我们计算所有$y_2 \\in \\mathcal{Y}$为：\n",
    "\n",
    "$$\\begin{aligned}P(A, y_2 \\mid \\mathbf{c}) = P(A \\mid \\mathbf{c})P(y_2 \\mid A, \\mathbf{c}),\\\\ P(C, y_2 \\mid \\mathbf{c}) = P(C \\mid \\mathbf{c})P(y_2 \\mid C, \\mathbf{c}),\\end{aligned}$$  \n",
    "\n",
    "从这十个值中选择最大的两个，\n",
    "比如$P(A, B \\mid \\mathbf{c})$和$P(C, E \\mid \\mathbf{c})$。\n",
    "然后在时间步$3$，我们计算所有$y_3 \\in \\mathcal{Y}$为：\n",
    "\n",
    "$$\\begin{aligned}P(A, B, y_3 \\mid \\mathbf{c}) = P(A, B \\mid \\mathbf{c})P(y_3 \\mid A, B, \\mathbf{c}),\\\\P(C, E, y_3 \\mid \\mathbf{c}) = P(C, E \\mid \\mathbf{c})P(y_3 \\mid C, E, \\mathbf{c}),\\end{aligned}$$ \n",
    "\n",
    "从这十个值中选择最大的两个，\n",
    "即$P(A, B, D \\mid \\mathbf{c})$和$P(C, E, D \\mid  \\mathbf{c})$，\n",
    "我们会得到六个候选输出序列：\n",
    "（1）$A$；（2）$C$；（3）$A,B$；（4）$C,E$；（5）$A,B,D$；（6）$C,E,D$。\n",
    "\n",
    "最后，基于这六个序列（例如，丢弃包括“&lt;eos&gt;”和之后的部分），\n",
    "我们获得最终候选输出序列集合。\n",
    "然后我们选择其中条件概率乘积最高的序列作为输出序列：\n",
    "\n",
    "$$ \\frac{1}{L^\\alpha} \\log P(y_1, \\ldots, y_{L}\\mid \\mathbf{c}) = \\frac{1}{L^\\alpha} \\sum_{t'=1}^L \\log P(y_{t'} \\mid y_1, \\ldots, y_{t'-1}, \\mathbf{c}),$$\n",
    ":eqlabel:`eq_beam-search-score`\n",
    "\n",
    "其中$L$是最终候选序列的长度，\n",
    "$\\alpha$通常设置为$0.75$。\n",
    "因为一个较长的序列在 :eqref:`eq_beam-search-score`\n",
    "的求和中会有更多的对数项，\n",
    "因此分母中的$L^\\alpha$用于惩罚长序列。\n",
    "\n",
    "束搜索的计算量为$\\mathcal{O}(k\\left|\\mathcal{Y}\\right|T')$，\n",
    "这个结果介于贪心搜索和穷举搜索之间。\n",
    "实际上，贪心搜索可以看作一种束宽为$1$的特殊类型的束搜索。\n",
    "通过灵活地选择束宽，束搜索可以在正确率和计算代价之间进行权衡。\n",
    "\n",
    "## 小结\n",
    "\n",
    "* 序列搜索策略包括贪心搜索、穷举搜索和束搜索。\n",
    "* 贪心搜索所选取序列的计算量最小，但精度相对较低。\n",
    "* 穷举搜索所选取序列的精度最高，但计算量最大。\n",
    "* 束搜索通过灵活选择束宽，在正确率和计算代价之间进行权衡。\n",
    "\n",
    "## 练习\n",
    "\n",
    "1. 我们可以把穷举搜索看作一种特殊的束搜索吗？为什么？\n",
    "1. 在 :numref:`sec_seq2seq`的机器翻译问题中应用束搜索。\n",
    "   束宽是如何影响预测的速度和结果的？\n",
    "1. 在 :numref:`sec_rnn_scratch`中，我们基于用户提供的前缀，\n",
    "   通过使用语言模型来生成文本。这个例子中使用了哪种搜索策略？可以改进吗？\n",
    "\n",
    "[Discussions](https://discuss.d2l.ai/t/5768)\n"
   ]
  }
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   "name": "python"
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