{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "id": "53d03399", "metadata": { "origin_pos": 0 }, "source": [ "# 概率\n", ":label:`sec_prob`\n", "\n", "简单地说，机器学习就是做出预测。\n", "\n", "根据病人的临床病史，我们可能想预测他们在下一年心脏病发作的*概率*。\n", "在飞机喷气发动机的异常检测中，我们想要评估一组发动机读数为正常运行情况的概率有多大。\n", "在强化学习中，我们希望智能体（agent）能在一个环境中智能地行动。\n", "这意味着我们需要考虑在每种可行的行为下获得高奖励的概率。\n", "当我们建立推荐系统时，我们也需要考虑概率。\n", "例如，假设我们为一家大型在线书店工作，我们可能希望估计某些用户购买特定图书的概率。\n", "为此，我们需要使用概率学。\n", "有完整的课程、专业、论文、职业、甚至院系，都致力于概率学的工作。\n", "所以很自然地，我们在这部分的目标不是教授整个科目。\n", "相反，我们希望教给读者基础的概率知识，使读者能够开始构建第一个深度学习模型，\n", "以便读者可以开始自己探索它。\n", "\n", "现在让我们更认真地考虑第一个例子：根据照片区分猫和狗。\n", "这听起来可能很简单，但对于机器却可能是一个艰巨的挑战。\n", "首先，问题的难度可能取决于图像的分辨率。\n", "\n", "![不同分辨率的图像 ($10 \\times 10$, $20 \\times 20$, $40 \\times 40$, $80 \\times 80$, 和 $160 \\times 160$ pixels)](../img/cat-dog-pixels.png)\n", ":width:`300px`\n", ":label:`fig_cat_dog`\n", "\n", "如 :numref:`fig_cat_dog`所示，虽然人类很容易以$160 \\times 160$像素的分辨率识别猫和狗，\n", "但它在$40\\times40$像素上变得具有挑战性，而且在$10 \\times 10$像素下几乎是不可能的。\n", "换句话说，我们在很远的距离（从而降低分辨率）区分猫和狗的能力可能会变为猜测。\n", "概率给了我们一种正式的途径来说明我们的确定性水平。\n", "如果我们完全肯定图像是一只猫，我们说标签$y$是\"猫\"的*概率*，表示为$P(y=$\"猫\"$)$等于$1$。\n", "如果我们没有证据表明$y=$“猫”或$y=$“狗”，那么我们可以说这两种可能性是相等的，\n", "即$P(y=$\"猫\"$)=P(y=$\"狗\"$)=0.5$。\n", "如果我们不十分确定图像描绘的是一只猫，我们可以将概率赋值为$0.5\n", "\n", "\n", " \n", " \n", " \n", " \n", " 2023-08-18T07:03:55.318521\n", " image/svg+xml\n", " \n", " \n", " Matplotlib v3.5.1, https://matplotlib.org/\n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", " \n", "\n" ], "text/plain": [ "
" ] }, "metadata": { "needs_background": "light" }, "output_type": "display_data" } ], "source": [ "counts = multinomial.Multinomial(10, fair_probs).sample((500,))\n", "cum_counts = counts.cumsum(dim=0)\n", "estimates = cum_counts / cum_counts.sum(dim=1, keepdims=True)\n", "\n", "d2l.set_figsize((6, 4.5))\n", "for i in range(6):\n", " d2l.plt.plot(estimates[:, i].numpy(),\n", " label=(\"P(die=\" + str(i + 1) + \")\"))\n", "d2l.plt.axhline(y=0.167, color='black', linestyle='dashed')\n", "d2l.plt.gca().set_xlabel('Groups of experiments')\n", "d2l.plt.gca().set_ylabel('Estimated probability')\n", "d2l.plt.legend();" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "d97d4cca", "metadata": { "origin_pos": 25 }, "source": [ "每条实线对应于骰子的6个值中的一个，并给出骰子在每组实验后出现值的估计概率。\n", "当我们通过更多的实验获得更多的数据时，这$6$条实体曲线向真实概率收敛。\n", "\n", "### 概率论公理\n", "\n", "在处理骰子掷出时，我们将集合$\\mathcal{S} = \\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}$\n", "称为*样本空间*（sample space）或*结果空间*（outcome space），\n", "其中每个元素都是*结果*（outcome）。\n", "*事件*（event）是一组给定样本空间的随机结果。\n", "例如，“看到$5$”（$\\{5\\}$）和“看到奇数”（$\\{1, 3, 5\\}$）都是掷出骰子的有效事件。\n", "注意，如果一个随机实验的结果在$\\mathcal{A}$中，则事件$\\mathcal{A}$已经发生。\n", "也就是说，如果投掷出$3$点，因为$3 \\in \\{1, 3, 5\\}$，我们可以说，“看到奇数”的事件发生了。\n", "\n", "*概率*（probability）可以被认为是将集合映射到真实值的函数。\n", "在给定的样本空间$\\mathcal{S}$中，事件$\\mathcal{A}$的概率，\n", "表示为$P(\\mathcal{A})$，满足以下属性：\n", "\n", "* 对于任意事件$\\mathcal{A}$，其概率从不会是负数，即$P(\\mathcal{A}) \\geq 0$；\n", "* 整个样本空间的概率为$1$，即$P(\\mathcal{S}) = 1$；\n", "* 对于*互斥*（mutually exclusive）事件（对于所有$i \\neq j$都有$\\mathcal{A}_i \\cap \\mathcal{A}_j = \\emptyset$）的任意一个可数序列$\\mathcal{A}_1, \\mathcal{A}_2, \\ldots$，序列中任意一个事件发生的概率等于它们各自发生的概率之和，即$P(\\bigcup_{i=1}^{\\infty} \\mathcal{A}_i) = \\sum_{i=1}^{\\infty} P(\\mathcal{A}_i)$。\n", "\n", "以上也是概率论的公理，由科尔莫戈罗夫于1933年提出。\n", "有了这个公理系统，我们可以避免任何关于随机性的哲学争论；\n", "相反，我们可以用数学语言严格地推理。\n", "例如，假设事件$\\mathcal{A}_1$为整个样本空间，\n", "且当所有$i > 1$时的$\\mathcal{A}_i = \\emptyset$，\n", "那么我们可以证明$P(\\emptyset) = 0$，即不可能发生事件的概率是$0$。\n", "\n", "### 随机变量\n", "\n", "在我们掷骰子的随机实验中，我们引入了*随机变量*（random variable）的概念。\n", "随机变量几乎可以是任何数量，并且它可以在随机实验的一组可能性中取一个值。\n", "考虑一个随机变量$X$，其值在掷骰子的样本空间$\\mathcal{S}=\\{1,2,3,4,5,6\\}$中。\n", "我们可以将事件“看到一个$5$”表示为$\\{X=5\\}$或$X=5$，\n", "其概率表示为$P(\\{X=5\\})$或$P(X=5)$。\n", "通过$P(X=a)$，我们区分了随机变量$X$和$X$可以采取的值（例如$a$）。\n", "然而，这可能会导致繁琐的表示。\n", "为了简化符号，一方面，我们可以将$P(X)$表示为随机变量$X$上的*分布*（distribution）：\n", "分布告诉我们$X$获得某一值的概率。\n", "另一方面，我们可以简单用$P(a)$表示随机变量取值$a$的概率。\n", "由于概率论中的事件是来自样本空间的一组结果，因此我们可以为随机变量指定值的可取范围。\n", "例如，$P(1 \\leq X \\leq 3)$表示事件$\\{1 \\leq X \\leq 3\\}$，\n", "即$\\{X = 1, 2, \\text{or}, 3\\}$的概率。\n", "等价地，$P(1 \\leq X \\leq 3)$表示随机变量$X$从$\\{1, 2, 3\\}$中取值的概率。\n", "\n", "请注意，*离散*（discrete）随机变量（如骰子的每一面）\n", "和*连续*（continuous）随机变量（如人的体重和身高）之间存在微妙的区别。\n", "现实生活中，测量两个人是否具有完全相同的身高没有太大意义。\n", "如果我们进行足够精确的测量，最终会发现这个星球上没有两个人具有完全相同的身高。\n", "在这种情况下，询问某人的身高是否落入给定的区间，比如是否在1.79米和1.81米之间更有意义。\n", "在这些情况下，我们将这个看到某个数值的可能性量化为*密度*（density）。\n", "高度恰好为1.80米的概率为0，但密度不是0。\n", "在任何两个不同高度之间的区间，我们都有非零的概率。\n", "在本节的其余部分中，我们将考虑离散空间中的概率。\n", "连续随机变量的概率可以参考深度学习数学附录中[随机变量](https://d2l.ai/chapter_appendix-mathematics-for-deep-learning/random-variables.html)\n", "的一节。\n", "\n", "## 处理多个随机变量\n", "\n", "很多时候，我们会考虑多个随机变量。\n", "比如，我们可能需要对疾病和症状之间的关系进行建模。\n", "给定一个疾病和一个症状，比如“流感”和“咳嗽”，以某个概率存在或不存在于某个患者身上。\n", "我们需要估计这些概率以及概率之间的关系，以便我们可以运用我们的推断来实现更好的医疗服务。\n", "\n", "再举一个更复杂的例子：图像包含数百万像素，因此有数百万个随机变量。\n", "在许多情况下，图像会附带一个*标签*（label），标识图像中的对象。\n", "我们也可以将标签视为一个随机变量。\n", "我们甚至可以将所有元数据视为随机变量，例如位置、时间、光圈、焦距、ISO、对焦距离和相机类型。\n", "所有这些都是联合发生的随机变量。\n", "当我们处理多个随机变量时，会有若干个变量是我们感兴趣的。\n", "\n", "### 联合概率\n", "\n", "第一个被称为*联合概率*（joint probability）$P(A=a,B=b)$。\n", "给定任意值$a$和$b$，联合概率可以回答：$A=a$和$B=b$同时满足的概率是多少？\n", "请注意，对于任何$a$和$b$的取值，$P(A = a, B=b) \\leq P(A=a)$。\n", "这点是确定的，因为要同时发生$A=a$和$B=b$，$A=a$就必须发生，$B=b$也必须发生（反之亦然）。因此，$A=a$和$B=b$同时发生的可能性不大于$A=a$或是$B=b$单独发生的可能性。\n", "\n", "### 条件概率\n", "\n", "联合概率的不等式带给我们一个有趣的比率：\n", "$0 \\leq \\frac{P(A=a, B=b)}{P(A=a)} \\leq 1$。\n", "我们称这个比率为*条件概率*（conditional probability），\n", "并用$P(B=b \\mid A=a)$表示它：它是$B=b$的概率，前提是$A=a$已发生。\n", "\n", "### 贝叶斯定理\n", "\n", "使用条件概率的定义，我们可以得出统计学中最有用的方程之一：\n", "*Bayes定理*（Bayes' theorem）。\n", "根据*乘法法则*（multiplication rule ）可得到$P(A, B) = P(B \\mid A) P(A)$。\n", "根据对称性，可得到$P(A, B) = P(A \\mid B) P(B)$。\n", "假设$P(B)>0$，求解其中一个条件变量，我们得到\n", "\n", "$$P(A \\mid B) = \\frac{P(B \\mid A) P(A)}{P(B)}.$$\n", "\n", "请注意，这里我们使用紧凑的表示法：\n", "其中$P(A, B)$是一个*联合分布*（joint distribution），\n", "$P(A \\mid B)$是一个*条件分布*（conditional distribution）。\n", "这种分布可以在给定值$A = a, B=b$上进行求值。\n", "\n", "### 边际化\n", "\n", "为了能进行事件概率求和，我们需要*求和法则*（sum rule），\n", "即$B$的概率相当于计算$A$的所有可能选择，并将所有选择的联合概率聚合在一起：\n", "\n", "$$P(B) = \\sum_{A} P(A, B),$$\n", "\n", "这也称为*边际化*（marginalization）。\n", "边际化结果的概率或分布称为*边际概率*（marginal probability）\n", "或*边际分布*（marginal distribution）。\n", "\n", "### 独立性\n", "\n", "另一个有用属性是*依赖*（dependence）与*独立*（independence）。\n", "如果两个随机变量$A$和$B$是独立的，意味着事件$A$的发生跟$B$事件的发生无关。\n", "在这种情况下，统计学家通常将这一点表述为$A \\perp B$。\n", "根据贝叶斯定理，马上就能同样得到$P(A \\mid B) = P(A)$。\n", "在所有其他情况下，我们称$A$和$B$依赖。\n", "比如，两次连续抛出一个骰子的事件是相互独立的。\n", "相比之下，灯开关的位置和房间的亮度并不是（因为可能存在灯泡坏掉、电源故障，或者开关故障）。\n", "\n", "由于$P(A \\mid B) = \\frac{P(A, B)}{P(B)} = P(A)$等价于$P(A, B) = P(A)P(B)$，\n", "因此两个随机变量是独立的，当且仅当两个随机变量的联合分布是其各自分布的乘积。\n", "同样地，给定另一个随机变量$C$时，两个随机变量$A$和$B$是*条件独立的*（conditionally independent），\n", "当且仅当$P(A, B \\mid C) = P(A \\mid C)P(B \\mid C)$。\n", "这个情况表示为$A \\perp B \\mid C$。\n", "\n", "### 应用\n", ":label:`subsec_probability_hiv_app`\n", "\n", "我们实战演练一下！\n", "假设一个医生对患者进行艾滋病病毒（HIV）测试。\n", "这个测试是相当准确的，如果患者健康但测试显示他患病，这个概率只有1%；\n", "如果患者真正感染HIV，它永远不会检测不出。\n", "我们使用$D_1$来表示诊断结果（如果阳性，则为$1$，如果阴性，则为$0$），\n", "$H$来表示感染艾滋病病毒的状态（如果阳性，则为$1$，如果阴性，则为$0$）。\n", "在 :numref:`conditional_prob_D1`中列出了这样的条件概率。\n", "\n", ":条件概率为$P(D_1 \\mid H)$\n", "\n", "| 条件概率 | $H=1$ | $H=0$ |\n", "|---|---|---|\n", "|$P(D_1 = 1 \\mid H)$| 1 | 0.01 |\n", "|$P(D_1 = 0 \\mid H)$| 0 | 0.99 |\n", ":label:`conditional_prob_D1`\n", "\n", "请注意，每列的加和都是1（但每行的加和不是），因为条件概率需要总和为1，就像概率一样。\n", "让我们计算如果测试出来呈阳性，患者感染HIV的概率，即$P(H = 1 \\mid D_1 = 1)$。\n", "显然，这将取决于疾病有多常见，因为它会影响错误警报的数量。\n", "假设人口总体是相当健康的，例如，$P(H=1) = 0.0015$。\n", "为了应用贝叶斯定理，我们需要运用边际化和乘法法则来确定\n", "\n", "$$\\begin{aligned}\n", "&P(D_1 = 1) \\\\\n", "=& P(D_1=1, H=0) + P(D_1=1, H=1) \\\\\n", "=& P(D_1=1 \\mid H=0) P(H=0) + P(D_1=1 \\mid H=1) P(H=1) \\\\\n", "=& 0.011485.\n", "\\end{aligned}\n", "$$\n", "因此，我们得到\n", "\n", "$$\\begin{aligned}\n", "&P(H = 1 \\mid D_1 = 1)\\\\ =& \\frac{P(D_1=1 \\mid H=1) P(H=1)}{P(D_1=1)} \\\\ =& 0.1306 \\end{aligned}.$$\n", "\n", "换句话说，尽管使用了非常准确的测试，患者实际上患有艾滋病的几率只有13.06%。\n", "正如我们所看到的，概率可能是违反直觉的。\n", "\n", "患者在收到这样可怕的消息后应该怎么办？\n", "很可能，患者会要求医生进行另一次测试来确定病情。\n", "第二个测试具有不同的特性，它不如第一个测试那么精确，\n", "如 :numref:`conditional_prob_D2`所示。\n", "\n", ":条件概率为$P(D_2 \\mid H)$\n", "\n", "| 条件概率 | $H=1$ | $H=0$ |\n", "|---|---|---|\n", "|$P(D_2 = 1 \\mid H)$| 0.98 | 0.03 |\n", "|$P(D_2 = 0 \\mid H)$| 0.02 | 0.97 |\n", ":label:`conditional_prob_D2`\n", "\n", "不幸的是，第二次测试也显示阳性。让我们通过假设条件独立性来计算出应用Bayes定理的必要概率：\n", "\n", "$$\\begin{aligned}\n", "&P(D_1 = 1, D_2 = 1 \\mid H = 0) \\\\\n", "=& P(D_1 = 1 \\mid H = 0) P(D_2 = 1 \\mid H = 0) \\\\\n", "=& 0.0003,\n", "\\end{aligned}\n", "$$\n", "\n", "$$\\begin{aligned}\n", "&P(D_1 = 1, D_2 = 1 \\mid H = 1) \\\\\n", "=& P(D_1 = 1 \\mid H = 1) P(D_2 = 1 \\mid H = 1) \\\\\n", "=& 0.98.\n", "\\end{aligned}\n", "$$\n", "现在我们可以应用边际化和乘法规则：\n", "\n", "$$\\begin{aligned}\n", "&P(D_1 = 1, D_2 = 1) \\\\\n", "=& P(D_1 = 1, D_2 = 1, H = 0) + P(D_1 = 1, D_2 = 1, H = 1) \\\\\n", "=& P(D_1 = 1, D_2 = 1 \\mid H = 0)P(H=0) + P(D_1 = 1, D_2 = 1 \\mid H = 1)P(H=1)\\\\\n", "=& 0.00176955.\n", "\\end{aligned}\n", "$$\n", "\n", "最后，鉴于存在两次阳性检测，患者患有艾滋病的概率为\n", "\n", "$$\\begin{aligned}\n", "&P(H = 1 \\mid D_1 = 1, D_2 = 1)\\\\\n", "=& \\frac{P(D_1 = 1, D_2 = 1 \\mid H=1) P(H=1)}{P(D_1 = 1, D_2 = 1)} \\\\\n", "=& 0.8307.\n", "\\end{aligned}\n", "$$\n", "\n", "也就是说，第二次测试使我们能够对患病的情况获得更高的信心。\n", "尽管第二次检验比第一次检验的准确性要低得多，但它仍然显著提高我们的预测概率。\n", "\n", "## 期望和方差\n", "\n", "为了概括概率分布的关键特征，我们需要一些测量方法。\n", "一个随机变量$X$的*期望*（expectation，或平均值（average））表示为\n", "\n", "$$E[X] = \\sum_{x} x P(X = x).$$\n", "\n", "当函数$f(x)$的输入是从分布$P$中抽取的随机变量时，$f(x)$的期望值为\n", "\n", "$$E_{x \\sim P}[f(x)] = \\sum_x f(x) P(x).$$\n", "\n", "在许多情况下，我们希望衡量随机变量$X$与其期望值的偏置。这可以通过方差来量化\n", "\n", "$$\\mathrm{Var}[X] = E\\left[(X - E[X])^2\\right] =\n", "E[X^2] - E[X]^2.$$\n", "\n", "方差的平方根被称为*标准差*（standard deviation）。\n", "随机变量函数的方差衡量的是：当从该随机变量分布中采样不同值$x$时，\n", "函数值偏离该函数的期望的程度：\n", "\n", "$$\\mathrm{Var}[f(x)] = E\\left[\\left(f(x) - E[f(x)]\\right)^2\\right].$$\n", "\n", "## 小结\n", "\n", "* 我们可以从概率分布中采样。\n", "* 我们可以使用联合分布、条件分布、Bayes定理、边缘化和独立性假设来分析多个随机变量。\n", "* 期望和方差为概率分布的关键特征的概括提供了实用的度量形式。\n", "\n", "## 练习\n", "\n", "1. 进行$m=500$组实验，每组抽取$n=10$个样本。改变$m$和$n$，观察和分析实验结果。\n", "2. 给定两个概率为$P(\\mathcal{A})$和$P(\\mathcal{B})$的事件，计算$P(\\mathcal{A} \\cup \\mathcal{B})$和$P(\\mathcal{A} \\cap \\mathcal{B})$的上限和下限。（提示：使用[友元图](https://en.wikipedia.org/wiki/Venn_diagram)来展示这些情况。)\n", "3. 假设我们有一系列随机变量，例如$A$、$B$和$C$，其中$B$只依赖于$A$，而$C$只依赖于$B$，能简化联合概率$P(A, B, C)$吗？（提示：这是一个[马尔可夫链](https://en.wikipedia.org/wiki/Markov_chain)。)\n", "4. 在 :numref:`subsec_probability_hiv_app`中，第一个测试更准确。为什么不运行第一个测试两次，而是同时运行第一个和第二个测试?\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "2594045e", "metadata": { "origin_pos": 27, "tab": [ "pytorch" ] }, "source": [ "[Discussions](https://discuss.d2l.ai/t/1762)\n" ] } ], "metadata": { "language_info": { "name": "python" }, "required_libs": [] }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5 }